Álgebra lineal Ejemplos

Hallar los vectores propios/el espacio propio [[1,2,1],[0,3,1],[0,5,-1]]
Paso 1
Obtén los valores propios.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica .
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Sustituye por .
Paso 1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.4.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.5
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.6
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.6.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.6.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.7
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.7.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.7.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.8
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.8.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.8.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.9
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 1.4.3
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.1
Suma y .
Paso 1.4.3.2
Suma y .
Paso 1.4.3.3
Suma y .
Paso 1.4.3.4
Suma y .
Paso 1.4.3.5
Suma y .
Paso 1.4.3.6
Suma y .
Paso 1.5
Find the determinant.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Paso 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Paso 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Paso 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Paso 1.5.1.9
Add the terms together.
Paso 1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.3
Multiplica por .
Paso 1.5.4
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.4.2
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1.1
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.4.2.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.4.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.4.2.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1.2.1.3.1
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.3.2
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Mueve .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.6
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.1.7
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.1.2.2
Suma y .
Paso 1.5.4.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.4.2.2
Resta de .
Paso 1.5.4.2.3
Reordena y .
Paso 1.5.5
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.1
Combina los términos opuestos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.1.1
Suma y .
Paso 1.5.5.1.2
Suma y .
Paso 1.5.5.2
Expande mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.
Paso 1.5.5.3
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.3.1
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.2
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.3
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.4
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.3.4.1
Mueve .
Paso 1.5.5.3.4.2
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.3.4.2.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.5.5.3.4.2.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.5.5.3.4.3
Suma y .
Paso 1.5.5.3.5
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.5.3.6
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.5.3.6.1
Mueve .
Paso 1.5.5.3.6.2
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.7
Multiplica por .
Paso 1.5.5.3.8
Multiplica por .
Paso 1.5.5.4
Suma y .
Paso 1.5.5.5
Suma y .
Paso 1.5.5.6
Mueve .
Paso 1.5.5.7
Mueve .
Paso 1.5.5.8
Reordena y .
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a para obtener los valores propios .
Paso 1.7
Resuelve
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.1
Reagrupa los términos.
Paso 1.7.1.2
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.2.1
Factoriza de .
Paso 1.7.1.2.2
Reescribe como .
Paso 1.7.1.2.3
Factoriza de .
Paso 1.7.1.3
Reescribe como .
Paso 1.7.1.4
Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, , donde y .
Paso 1.7.1.5
Factoriza.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.5.1
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.5.1.1
Multiplica por .
Paso 1.7.1.5.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.1.5.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
Paso 1.7.1.6
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.6.1
Factoriza de .
Paso 1.7.1.6.2
Factoriza de .
Paso 1.7.1.6.3
Factoriza de .
Paso 1.7.1.7
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.7.1
Factoriza de .
Paso 1.7.1.7.2
Factoriza de .
Paso 1.7.1.7.3
Factoriza de .
Paso 1.7.1.8
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.7.1.9
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.9.1
Reescribe como .
Paso 1.7.1.9.2
Multiplica por .
Paso 1.7.1.9.3
Multiplica por .
Paso 1.7.1.10
Suma y .
Paso 1.7.1.11
Factoriza.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.11.1
Factoriza por agrupación.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.11.1.1
Para un polinomio de la forma , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es y cuya suma es .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.11.1.1.1
Factoriza de .
Paso 1.7.1.11.1.1.2
Reescribe como más
Paso 1.7.1.11.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.7.1.11.1.1.4
Multiplica por .
Paso 1.7.1.11.1.2
Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1.11.1.2.1
Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.
Paso 1.7.1.11.1.2.2
Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.
Paso 1.7.1.11.1.3
Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, .
Paso 1.7.1.11.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
Paso 1.7.2
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 1.7.3
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.1
Establece igual a .
Paso 1.7.3.2
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.7.4
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.4.1
Establece igual a .
Paso 1.7.4.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.4.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 1.7.4.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.4.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 1.7.4.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.4.2.2.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 1.7.4.2.2.2.2
Divide por .
Paso 1.7.4.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.4.2.2.3.1
Divide por .
Paso 1.7.5
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.5.1
Establece igual a .
Paso 1.7.5.2
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 1.7.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Paso 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 3.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 3.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.2
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.3
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.5
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.6
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.7
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.8
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.9
Multiplica por .
Paso 3.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 3.2.3
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.3.1
Suma y .
Paso 3.2.3.2
Suma y .
Paso 3.2.3.3
Suma y .
Paso 3.2.3.4
Suma y .
Paso 3.2.3.5
Suma y .
Paso 3.2.3.6
Suma y .
Paso 3.2.3.7
Suma y .
Paso 3.2.3.8
Suma y .
Paso 3.2.3.9
Suma y .
Paso 3.3
Find the null space when .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 3.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.3.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.4.2
Simplifica .
Paso 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 3.3.6
Write as a solution set.
Paso 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 4.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1
Resta los elementos correspondientes.
Paso 4.2.2
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.2.1
Resta de .
Paso 4.2.2.2
Resta de .
Paso 4.2.2.3
Resta de .
Paso 4.2.2.4
Resta de .
Paso 4.2.2.5
Resta de .
Paso 4.2.2.6
Resta de .
Paso 4.2.2.7
Resta de .
Paso 4.2.2.8
Resta de .
Paso 4.2.2.9
Resta de .
Paso 4.3
Find the null space when .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.3.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.4
Swap with to put a nonzero entry at .
Paso 4.3.2.5
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.5.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.5.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.6.2
Simplifica .
Paso 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 4.3.6
Write as a solution set.
Paso 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 5
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 5.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 5.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2.2
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2.3
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2.5
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2.6
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2.7
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2.8
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2.9
Multiplica por .
Paso 5.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 5.2.3
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.3.1
Resta de .
Paso 5.2.3.2
Suma y .
Paso 5.2.3.3
Suma y .
Paso 5.2.3.4
Suma y .
Paso 5.2.3.5
Resta de .
Paso 5.2.3.6
Suma y .
Paso 5.2.3.7
Suma y .
Paso 5.2.3.8
Suma y .
Paso 5.2.3.9
Resta de .
Paso 5.3
Find the null space when .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 5.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 5.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 5.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 5.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 5.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 5.3.2.3.2
Simplifica .
Paso 5.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 5.3.2.4.2
Simplifica .
Paso 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 5.3.6
Write as a solution set.
Paso 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.